Programa do curso

DISCIPLINA: CÁLCULO DAS PROBABILIDADES II




CÓDIGO: MAD352

CRÉDITOS: 5

CARGA HORÁRIA: 90h

TEÓRICA: 60h

PRÁTICA: 30h


PRÉ-REQUISITOS: CÁLCULO DAS PROBABILIDADES I – MAD233


EMENTA: Espaços de probabilidade. Vetores aleatórios. Distribuição e esperança condicionais. Função geratriz e função característica. Teoremas limites.


OBJETIVOS GERAIS: Habilitar o aluno a sintetizar informações que são ministradas com vistas à elaboração de conceitos mais complexos; resolver problemas simples usando raciocínio probabilístico.


CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:


UNIDADE I - Espaços de Probabilidade. Modelo matemático para um experimento (modelo probabilístico). Álgebra de eventos e s-álgebra de eventos: definição e propriedades.Axiomas da probabilidade (sigma-aditividade), continuidade no vazio. Propriedades da probabilidade. Espaço de probabilidade: definição.

UNIDADE II – Vetores Aleatórios
Introdução: definição de uma variável aleatória, distribuição e propriedades. Funções de variáveis aleatórias: transformação de escala e posição, transformação integral da probabilidade. Caracterização adicional de variáveis aleatórias: momentos.
Vetores aleatórios de dimensão 2. Distribuição: definição e propriedades. O caso discreto: função de probabilidade conjunta, funções de probabilidade marginais e condicionais. O caso contínuo: função de densidade conjunta, funções de densidade marginais e condicionais. Variáveis aleatórias independentes. Extensão para o caso de dimensão n≥2. 2.4 Distribuições especiais: Normal multivariada e Multinomial

UNIDADE III – Funções univariadas das componentes de um vetor aleatório.
Soma e diferença de variáveis aleatórias independentes. Convolução.Produto e Quociente de variáveis aleatórias.

UNIDADE IV – Distribuição conjunta de funções de variáveis aleatórias.
O método Jacobiano para o caso de dimensão 2. Exemplos.
Extensão para o caso de dimensão n≥2.

UNIDADE V – Distribuições Especiais
Distribuição de Qui-quadrado. Definição, propriedades e aplicações (independência da média e variância amostrais para amostras da normal). Distribuição t: definição e propriedades. Distribuição F: definição e propriedades. Estatísticas de Ordem: definição e distribuições conjuntas e marginais, aplicações.

UNIDADE VI – Esperança. Definição Geral de Esperança. Propriedades da Esperança. Esperança Condicional: definição, propriedades. Cálculo da esperança e da variância por condicionamento (exemplos típicos: soma aleatória de variáveis aleatórias independentes). Desigualdade de Jensen. Desigualdade de Tchebyshev

UNIDADE VII – Lei dos Grandes Números.
Tipos de Convergência: convergência em probabilidade e convergência quase certa.
Lei Fraca dos Grandes Números. Lei Forte dos Grandes Números. Exemplos.

UNIDADE VIII – Funções características, convergência em distribuição. Teorema Central do Limite. Funções características: definição e propriedades. Convergência em distribuição: definição e alguns resultados. Teorema Central do Limite: para variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas. Teorema Central do Limite para variáveis aleatórias independentes (condição de Lindeberg, Liapounov). Aplicações.

BIBLIOGRAFIA

[1] James, B. (1981). Probabilidade: um curso em nível intermediário. IMPA. Projeto Euclides.

[2] Magalhães, M. N. (2004). Probabilidade e Variáveis Aleatórias. Ed. Universidade de São Paulo.

[3] Hoel, P.G. e Stone, C. J. (1978). Introdução à Teoria da Probabilidade. Editora Interciência.

[4] Ross, S. (1997). Introduction to Probability Models. Sixth Edition. Academic Press.


CRITÉRIO DE AVALIAÇÃO: Exercícios, testes e provas.